Neden en başta
Bu bölümdeki diğer sayfalar — SPC ve süreç yeteneği, hipotez testi, ölçüm sistemi analizi, talep tahmini — farklı sorulara cevap veriyor gibi görünseler de hepsi aynı iki soruya dayanıyor: veri nerede toplanıyor ve etrafında ne kadar yayılıyor. Bu iki soruya güvenilir cevap verilemeyen bir yerde üstteki yöntemlerin hiçbiri sağlam durmaz, çünkü hepsi girdi olarak merkez ve yayılım değerlerini kullanır.
Konunun sıradan görünmesi de buradan geliyor. Ortalama almak herkesin bildiği bir işlem, ama bir sürecin ortalamasıyla karar vermenin nerede işe yaradığı ve nerede yanılttığı çok daha az bilinen bir konu. Bu sayfa o ayrımı kurmayı hedefliyor.
Veri türleri
Sürekli (değişken) veri: ölçülür ve iki değer arasında her
zaman bir ara değer bulunabilir. Teslim süresi 2,7 gün; koli ağırlığı 4,35 kg.
Kesikli (nitelik) veri: sayılır ya da sınıflandırılır. Gönderi hasarlı veya
hasarsızdır; gün içinde 12 iade gelmiştir.
Bu ayrım sonraki her adımı belirlediği için baştan doğru yapılması gerekiyor. Hangi grafiğin çizileceği, hangi testin uygulanacağı ve hangi kontrol grafiği türünün seçileceği doğrudan veri türüne bağlı.
Daha az bilinen bir nokta da şu: sürekli veri, aynı örneklem büyüklüğünde kesikli veriden çok daha fazla bilgi taşır. Bir gönderinin "gecikti mi, gecikmedi mi" diye kaydedilmesiyle kaç gün sürdüğünün yazılması arasında ciddi bir bilgi farkı vardır. Ölçme imkânı varken saymayı tercih etmek, elde bulunan bilgiyi kendi elinle azaltmak anlamına gelir.
Merkezî eğilim
Verinin nerede toplandığını üç farklı ölçü tarif eder ve hangisinin kullanılacağı verinin şekline bağlıdır.
Aritmetik ortalama, tüm değerlerin toplamının gözlem sayısına bölünmesiyle bulunur. En yaygın kullanılan ölçüdür, ancak uç değerlere karşı en duyarlı olanıdır: tek bir aşırı gözlem sonucu belirgin biçimde kaydırabilir.
Medyan, sıralanmış verinin tam ortasındaki değerdir; gözlem sayısı çift olduğunda ortadaki iki değerin ortalaması alınır. Uç değerlerden etkilenmediği için çarpık dağılımlarda ortalamadan daha dürüst bir merkez ölçüsü sunar.
Mod, en sık tekrar eden değerdir. Kesikli ve kategorik veride çoğu zaman anlamlı olan tek merkez ölçüsü budur, çünkü kategori isimlerinin ortalaması alınamaz.
Örnek 1 — bir şubede 15 kuryenin günlük teslimat adedi
Ham veri: 62, 58, 71, 55, 64, 58, 80, 49, 66, 58, 73, 61, 57, 69, 54
Sıralanmış: 49, 54, 55, 57, 58, 58, 58, 61, 62, 64, 66, 69, 71, 73, 80
Ortalama = 935 ÷ 15 = 62,33 teslimat/gün
Medyan = 8. değer, çünkü 15 tek sayı olduğu için (15+1) ÷ 2 = 8 ⇒ 61
Mod = 58 (üç kez tekrar ediyor)
Ortalama, medyandan 1,33 birim yüksek çıkıyor ve bu farkın kaynağı belli: 80 teslimat yapan tek bir kurye dağılımı sağa doğru çekiyor. Fark küçük görünse de karar üzerindeki etkisi büyük olabiliyor. Şube müdürü "ortalamamız 62, hedef bu" derse, 15 kuryenin 9'u daha ilk günden hedefin altında kalmış oluyor; oysa bu dokuz kişinin performansında olağandışı bir şey yok, yalnızca hedef yanlış bir merkez ölçüsünden türetilmiş.
Bu durumda medyan daha savunulabilir bir referans üretir. Genel kural şu şekilde özetlenebilir: ortalama ile medyan birbirinden belirgin biçimde uzaksa dağılım çarpıktır ve ortalamayla kurulan her cümle bir kez daha düşünülmelidir.
Yayılım
Merkez tek başına bir süreci tarif etmeye yetmez. Aynı ortalamaya sahip iki süreçten biri öngörülebilir, diğeri tamamen dağınık olabilir; aradaki farkı yalnızca yayılım ölçüleri gösterir.
Açıklık, en büyük ile en küçük değerin farkıdır. Hesabı kolaydır ama yalnızca iki gözlemi kullandığı için uç değerlere tümüyle bağımlıdır ve aradaki verinin nasıl dağıldığı hakkında hiçbir şey söylemez.
Varyans ve standart sapma ise bütün gözlemleri hesaba katar. Her değerin ortalamadan farkı alınır, bu farkların kareleri toplanır ve gözlem sayısının bir eksiğine bölünür; sonuç varyans, karekökü ise standart sapmadır. Kare almanın nedeni, eksi ve artı yöndeki sapmaların birbirini götürmesini engellemektir — sapmaların doğrudan toplamı her veri setinde sıfır çıkar ve hiçbir bilgi vermez.
Değişim katsayısı, standart sapmanın ortalamaya oranıdır ve yüzde olarak ifade edilir. Birimi olmadığı için farklı ölçeklerdeki süreçleri karşılaştırmaya yarar; bu da onu iyileştirme önceliği belirlerken en kullanışlı ölçü haline getirir.
Örnek 2 — aynı veride yayılım
Sapma kareleri toplamı = 949,33
Varyans = 949,33 ÷ (15 − 1) = 67,81
Standart sapma = √67,81 = 8,24 teslimat
Değişim katsayısı = 8,24 ÷ 62,33 × 100 = %13,2
Ortalamanın bir standart sapma altı ile üstü arasındaki aralık 54,1 ile 70,6 arasına düşüyor ve 15 gözlemin 10'u, yani %66,7'si bu aralıkta kalıyor. Normal dağılımda beklenen oran yaklaşık %68 olduğu için bu, dağılımın kabaca normale yakın olabileceğine dair bir işaret sayılabilir. Ancak 15 gözlemle bu bir kanıt değil yalnızca bir gözlemdir; normallik iddiası için ya çok daha fazla veri ya da bir normallik testi gerekir.
Örnek 3 — değişim katsayısı neyi çözer
İki farklı süreç karşılaştırılıyor:
| Süreç | Ortalama | Std. sapma | Değişim katsayısı |
|---|---|---|---|
| Kurye teslimat adedi | 62,33 adet | 8,24 adet | %13,2 |
| Koli etiket okuma süresi | 4,45 sn | 0,16 sn | %3,6 |
Standart sapmalar doğrudan karşılaştırılamaz, çünkü biri adet biri saniye cinsinden. Değişim katsayısı ise birimsiz olduğu için karşılaştırmayı mümkün kılıyor ve sonuç net: teslimat adedi süreci, etiket okuma sürecinden 3,7 kat daha değişken. İyileştirme kaynağının hangi sürece ayrılacağı sorusunun ilk cevabı bu oranda saklı.
Dağılımın şekli
Merkez ve yayılım iki sayı verir; şekil ise üçüncü bilgidir ve karar açısından çoğu zaman en belirleyici olanıdır. Aynı ortalamaya ve aynı standart sapmaya sahip iki süreç, tamamen farklı şekillerde dağılabilir ve bu fark müşterinin yaşadığı deneyimi doğrudan değiştirir.
Örnek 4 — 60 gönderinin teslim süresi
| Süre (gün) | Frekans | % | Kümülatif % |
|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 5,0 | 5,0 |
| 2 | 7 | 11,7 | 16,7 |
| 3 | 14 | 23,3 | 40,0 |
| 4 | 17 | 28,3 | 68,3 |
| 5 | 9 | 15,0 | 83,3 |
| 6 | 5 | 8,3 | 91,7 |
| 7 | 2 | 3,3 | 95,0 |
| 8 | 1 | 1,7 | 96,7 |
| 9 | 1 | 1,7 | 98,3 |
| 11 | 1 | 1,7 | 100,0 |
Ortalama 4,07 gün, mod ise 4 gün çıkıyor. Ama tablonun asıl anlattığı şey bu iki sayının dışında: 60 gönderinin 41'i, yani %68,3'ü dört gün ve altında teslim edilmişken beş gönderi yedi gün ve üzerinde kalmış. Dağılım sağa doğru uzun bir kuyruk yapıyor.
Bu ayrımın pratik sonucu şu: müşteriye "ortalama teslim süremiz 4 gün" demek teknik olarak doğru olsa da yanıltıcıdır, çünkü şikâyet ortalamadan değil kuyruktan gelir. Dört günde teslim alan müşteri arayıp teşekkür etmez; on birinci günde bekleyen müşteri arar. Hizmet seviyesinin ortalamayla değil yüzdelikle taahhüt edilmesinin nedeni budur ve bu tablodan doğrudan okunabilir: gönderilerin %95'i yedi gün içinde teslim ediliyor.
Üç tuzak
Ortalamaya hedef bağlamak. İlk örnekte ortalama 62 çıkıyordu ama 15 kuryenin 9'u bu değerin altındaydı. Yayılım bilinmeden konan bir ortalama hedefi, ekibin çoğunluğunu başarısız gösterir ve hedefin kendisine olan güveni sarsar.
Ortalamaların ortalamasını almak. Üç şubenin ortalamaları sırasıyla 62, 48 ve 55 ise bu üç sayının ortalaması olan 55, şirket ortalaması değildir. Şubelerin kurye sayıları farklı olduğu sürece doğru sonuç ancak ağırlıklı ortalamayla elde edilir; aksi halde küçük şube ile büyük şube aynı ağırlıkta sayılmış olur.
İki noktayı trend sanmak. Geçen ay 62, bu ay 66 olması tek başına bir iyileşme değildir. Standart sapmanın 8,24 olduğu bir süreçte dört birimlik fark, sürecin doğal dalgalanmasının içinde kalır. Gözlenen değişimin gerçek olup olmadığına karar vermek hipotez testinin ve kontrol grafiğinin işidir.
Alıştırma
Kendin çöz
Bir aktarma merkezinde 10 vardiyada işlenen koli sayısı: 4.180, 3.920, 4.350, 4.010, 5.640, 4.220, 3.870, 4.100, 4.290, 3.960
- Ortalama ve medyanı hesapla. Aralarındaki farkın sebebi ne?
- Standart sapmayı ve değişim katsayısını bul.
- 5.640'lık vardiyayı veri setinden çıkar ve ilk iki soruyu yeniden hesapla. Hangi ölçü daha çok değişti — ortalama mı medyan mı? Neden?
- Bu tesise vardiya başına 4.400 koli hedefi konsa, 10 vardiyanın kaçı hedefi tutturmuş olur?
Üçüncü soru bu sayfanın asıl dersidir. Medyanın uç değere dayanıklı olması teorik bir özellik değil, hangi ölçüyü hangi durumda kullanacağını belirleyen pratik bir ayrımdır.
Sık karşılaşılan hatalar
Merkez ölçüsünü veriye bakmadan seçmek. Ortalama her durumda uygun değildir; dağılım çarpıksa medyan, kategorik veride ise mod kullanılır. Seçim veriye bakılarak yapılır.
Yayılımı raporlamadan ortalama vermek. Tek başına bir ortalama, sürecin öngörülebilir mi yoksa dağınık mı olduğu hakkında hiçbir şey söylemez. Ortalama her zaman bir yayılım ölçüsüyle birlikte verilir.
Değişim katsayısını hesaplamadan süreçleri karşılaştırmak. Farklı birimlerdeki standart sapmalar doğrudan kıyaslanamaz; hangi sürecin daha değişken olduğu ancak birimsiz bir oranla söylenebilir.
Küçük örneklemden dağılım şekli hakkında sonuç çıkarmak. On beş gözlem, dağılımın normal olup olmadığını söylemeye yetmez. Bu tür bir iddia için daha büyük örneklem ve uygun bir test gerekir.
Ortalamayı hizmet taahhüdüne çevirmek. Müşteri deneyimini belirleyen dağılımın kuyruğudur. Taahhüt yüzdelikle verilir, ortalamayla değil.