Neden önemli
Temel istatistik sayfası merkez ve yayılımın nasıl hesaplanacağını anlatıyor. Dağılım ise üçüncü bilgiyi, yani verinin şeklini veriyor ve bu şekil bilinmeden hiçbir olasılık hesabı yapılamıyor.
Farkın ne kadar somut olduğunu bir örnekle görmek mümkün. Ortalama teslim süresi 4,07 gün olan bir süreçte "gönderilerin %95'i kaç günde teslim edilir" sorusunun cevabı, dağılımın şekline bağlı olarak değişir; ortalaması ve standart sapması birbirinin aynı olan iki farklı dağılım bu soruya iki farklı cevap verebilir. Müşteriye verilecek taahhüt de bu cevaba göre kurulacağı için seçim teknik bir ayrıntı olmaktan çıkıyor.
Seçilen dağılım aynı zamanda kullanılacak aracı belirliyor. Normal dağılan sürekli veri t testine ve X̄–R grafiğine, oran verisi p grafiğine, birim başına kusur sayısı ise c veya u grafiğine gidiyor. Yanlış dağılım varsayımıyla seçilen bir araç, doğru hesaplanmış olsa bile yanlış sonuç üretir.
Hangi dağılım ne zaman
| Dağılım | Veri türü | Ayırt edici soru | Operasyondaki örneği |
|---|---|---|---|
| Normal | Sürekli (ölçüm) | Bir büyüklüğü ölçüyor muyum? | Koli ağırlığı, teslim süresi, kabul süresi |
| Binom | Kesikli — başarı/başarısızlık | Sabit sayıda denemede kaç tanesi "evet"? | 20 gönderilik örneklemde kaç hatalı adres |
| Poisson | Kesikli — olay sayısı | Belirli bir zaman/alan aralığında kaç olay? | Saatte gelen çağrı sayısı, vardiyada arıza sayısı |
Üçlü içinde en çok karıştırılan ikili binom ile Poisson. Ayrım aslında tek bir soruyla çözülüyor: elinde bir payda var mı? Binom'da vardır — yirmi gönderiden üçü hatalıdır, oran hesaplanabilir. Poisson'da ise payda yoktur; saatte altı çağrı gelmiştir ve "kaç çağrıdan altısı" diye bir soru anlamsızdır, çünkü gelmeyen çağrılar sayılamaz.
Normal dağılım
Çan eğrisi olarak bilinen dağılım iki parametreyle tanımlanır: ortalama eğrinin konumunu, standart sapma ise genişliğini belirler. Dağılım simetrik olduğu için ortalama, medyan ve mod aynı noktada çakışır — bu, normal dağılımı diğerlerinden ayıran ve tanımayı kolaylaştıran en belirgin özelliktir.
z skoru = (x − μ) ÷ σ. Bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler. Farklı ölçekteki normal dağılımları tek bir standart tabloya indirger.
| Aralık | Kapsanan oran |
|---|---|
| μ ± 1σ | %68,3 |
| μ ± 2σ | %95,4 |
| μ ± 3σ | %99,73 |
Tablonun son satırı, kontrol grafiklerinde neden üç sigma limitlerinin kullanıldığını açıklıyor. Süreç kararlı olduğu sürece noktaların binde 997'si bu limitlerin içinde kalacaktır; dolayısıyla dışarı çıkan bir nokta, tesadüfle açıklanması çok zor bir olay olarak özel neden işareti sayılır.
Çözümlü örnek — koli ağırlığı
Bir şubede kabul edilen kolilerin ağırlığı normal dağılıyor: μ = 8,40 kg, σ = 1,25 kg.
z = (10,00 − 8,40) ÷ 1,25 = 1,28
P(Z ≤ 1,28) = 0,8997 ⇒ P(X > 10) = 1 − 0,8997 = 0,1003 = %10,03
z₁ = (6,00 − 8,40) ÷ 1,25 = −1,92 · P(Z ≤ −1,92) = 0,0274
z₂ = 1,28 · P(Z ≤ 1,28) = 0,8997
P(6 ≤ X ≤ 10) = 0,8997 − 0,0274 = 0,8723 = %87,23
14.400 × 0,1003 = 1.444 gönderi/gün
Operasyonel karşılığı: 10 kg üstü koliler tek kişiyle taşınamıyorsa, günde 1.444 kez iki kişilik elleçleme gerekiyor demektir. Kadro planı bu sayıya göre yapılır — "koliler ortalama 8,4 kg" bilgisi bu kararı vermeye yetmez.
z₀,₉₅ = 1,645 → x = 8,40 + 1,645 × 1,25 = 10,456 kg
%99'u için: x = 8,40 + 2,326 × 1,25 = 11,308 kg
Bu, ekipman ve raf tasarımının dayanağıdır: %99'u kapsayacak bir tasarım için sınır 11,3 kg'dır.
Binom dağılımı
Deneme sayısının sabit olduğu, her denemenin birbirinden bağımsız gerçekleştiği ve her birinde başarı olasılığının değişmediği durumlarda kaç başarı elde edileceğini verir. Kalite alanında "başarı" genellikle kusur bulmak anlamına gelir; adlandırma yanıltıcı olsa da matematik aynı kalır.
P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n−k)
Ortalama = n × p · Varyans = n × p × (1 − p)
Çözümlü örnek — örneklem denetimi
p grafiği örneğinde hatalı adres oranını %3,85 olarak hesaplanmıştı. Denetçi bu süreçten rastgele 20 gönderi seçiyor.
Beklenen hatalı = 20 × 0,0385 = 0,77 gönderi
Standart sapma = √(20 × 0,0385 × 0,9615) = 0,860
| k (hatalı sayısı) | P(X = k) | % |
|---|---|---|
| 0 | 0,45602 | 45,60 |
| 1 | 0,36520 | 36,52 |
| 2 | 0,13892 | 13,89 |
| 3 | 0,03338 | 3,34 |
P(X ≥ 1) = 1 − 0,45602 = 0,54398 = %54,40
P(X ≤ 2) = 0,45602 + 0,36520 + 0,13892 = 0,96014 = %96,01
Kritik yorum: Süreçte %3,85 hata oranı olmasına rağmen, 20 gönderilik bir denetimde hiç hata bulunmama olasılığı %45,6. Yani denetçi neredeyse yazı-tura atarak "sorun yok" raporu yazabilir.
Bu, küçük örneklemli denetimin temel zaafıdır ve "denetimde bulgu çıkmadı" ile "süreçte sorun yok" arasındaki farkı gösterir. Bir sorunu güvenilir biçimde yakalamak istiyorsan örneklem büyüklüğü hesaplanmalıdır — bu, ISO 2859 ve AQL örnekleme planlarının varlık sebebidir.
Poisson dağılımı
Belirli bir zaman aralığında ya da belirli bir alanda, birbirinden bağımsız ve rastgele gerçekleşen olayların sayısını modeller. Tek bir parametresi vardır ve o da o aralıktaki ortalama olay sayısıdır; bu sadelik, dağılımı çağrı merkezi, arıza ve kaza analizlerinde yaygın biçimde kullanılır hale getirmiştir.
P(X = k) = (e^−λ × λ^k) ÷ k!
Ayırt edici özelliği: ortalama = varyans = λ. Veride ortalama ile varyans
birbirinden çok farklıysa Poisson uygun değildir.
Çözümlü örnek — çağrı merkezi
Hasar bildirim hattına saatte ortalama 6,4 çağrı geliyor.
| k (saatlik çağrı) | P(X = k) | % |
|---|---|---|
| 0 | 0,00166 | 0,17 |
| 3 | 0,07259 | 7,26 |
| 6 | 0,15859 | 15,86 |
| 10 | 0,05279 | 5,28 |
| 12 | 0,01638 | 1,64 |
P(X ≤ 10) = 0,93859 = %93,86
P(X ≥ 11) = 1 − 0,93859 = 0,06141 = %6,14
Standart sapma = √6,4 = 2,53
Kadro kararı: Bir temsilci saatte en fazla 10 çağrı karşılayabiliyorsa, tek temsilciyle çalışan saatlerin %6,14'ünde kapasite aşılır. 8 saatlik vardiyada bu, yaklaşık yarım saat demektir.
Poisson varışlar, kuyruk teorisindeki M/M modellerinin varsayımıdır. Yani bu dağılım, bekleme süresi hesaplarının girdisidir — birbirinden bağımsız iki konu değil, arka arkaya gelen iki adımdır.
Sık karşılaşılan hatalar
Her veriyi normal kabul etmek. Süre verileri neredeyse her zaman sağa çarpıktır, çünkü negatif değer alamaz ama üst tarafta sınırsız uzayabilir. Normallik varsayımı sınanmadan uygulanan bir t testi, matematiksel olarak doğru hesaplanmış olsa bile yanlış sonuca götürür.
Binom ile Poisson'u karıştırmak. Ayrım tek soruda çözülür: payda var mı yok mu. Payda varsa binom, yoksa Poisson.
Poisson kullanırken varyansı kontrol etmemek. Bu dağılımın ayırt edici özelliği ortalama ile varyansın birbirine eşit olmasıdır. Veride bu iki değer belirgin biçimde ayrışıyorsa olaylar bağımsız değildir ve Poisson uygun bir model değildir.
Küçük örneklemin sonucuna güvenmek. Yukarıdaki binom örneğinde görüldüğü gibi, %3,85 hata oranı olan bir süreçte yirmilik bir örneklemde hiç hata bulunmama olasılığı %45,6. Bulgu çıkmaması, sorunun olmadığı anlamına gelmez.
Dağılım seçimini bir kez yapıp bir daha dönmemek. Süreç değiştiğinde veri de farklı bir şekle bürünebilir. Kontrol grafiği türü bu seçime bağlı olduğu için varsayımın periyodik olarak doğrulanması gerekir.